几何概型问题展
应用几何概型公式, 要注意分子和分母同单位.
一. 一维问题
例1 如图,在等腰△ABC中,∠B=∠C=300,求下列事件的概率.
(1) 在底边BC上任取
一点
(2) 在∠BAC内任作射
线AP交线段BC于P,使BP<AB.
解析:(1) 在BC上取一点M, 使BM=AB,则点P落在线段BM内.
故所求概率为P1=
(2) 由(1)得∠AMB=750, 则AP落在∠AMB内.
故所求概率为P2=
例2 设函数f(x)=kx+b.
(1) 当b∈[-2,3]时,求直线在y轴上的截距大于1的概率;
(2) 当b=1, k ∈[-2, 1] 时, 求对任意x∈ [0, 1],f(x)≥0的概率.
解析:(1) 试验的全部结果构成的区域为[-2,3],所求事件构成的区域为(1,3].
故所求概率为P1==.
(2) 由已知得
二. 二维问题
例3向边长为2的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆, 记绿豆落在点P, 求点P到点A的距离大于1, 且
解析: 由题设知, 点P
在以DC为直径的圆外, 且
在以点A为圆心1为半径的
圆外, 即点P在如图所示的
阴影部分内.
故所求概率为P=
例4甲, 乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有3班公共汽车,它们开车时刻分别为7:20, 7:40, 8:00,若他们约定, 见车就乘,求甲, 乙同乘一车的概率.
解析: 设甲, 乙两人到
达汽车站的时间分别为x,
y,则x, y∈[7, 8], 即两人
到达汽车站的时刻(x,y)所
对应的区域在如图所示的大
正方形内(含边界).
将三班车到站的时刻在
图中画出,则甲, 乙两人要想乘同一班车,必须满足x, y∈[7, 7]∪[7,∪[7, 8], 即(x,y)必须落在图中三个阴影的小正方形内(含边界).
故所求概率为P=
例5 已知|x|≤2,|y|≤2, 分别就下列情形,求点P(x,y)满足(x-2)2+(y-2)2≤4的概率.
(1) x,y∈R;
(2) x,y∈Z.
解析:(1) 点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界),满足(x-2)2+
(y-2)2≤4的点的区域为以
(2, 2)为圆心,2为半径的
圆面(含边界), 即点P在如
图所示的阴影部分内(含边界).
故所求的概率 P1==.
(2) 由x,y∈{-2, -1, 0, 1, 2}, 得点P(x,y)的结果共
故所求概率为P2=
三. 三维问题
例6 正方体ABCD-A1B
(1) 求M落在三棱柱ABC-A1B
(2) 求M落在三棱锥B-A1B
(3) 求四棱锥M-ABCD的体积小于的概率;
解析:(1) 由V三棱柱=×13=,得所求概率为P1=.
(2) 由V三棱锥=×13=, 得所求概率P2=.
(3) 设四棱锥M-ABCD的高为h,由×S四边形ABCD×h=,又S四边形ABCD=1,得h=.
若体积小于,则h<,即点M在正方体的下半部分.
故所求概率为P3==.
例7 在一个棱长为6的密封的正方体盒子中,放一个半径为1的小球,任意摇动盒子,若小球在盒子中不能到达的空间为G,求这个正方体盒子中的一点属于G的概率.
解析: 在正方体盒子中,不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空间,其体积为23-π=8-π; 小球沿每条棱运动不能到达的空间(除去两端的两个角)的体积,即为高为4的一个正四棱柱的体积减去其内切圆柱体积的四分之一(如图二),
得(22×4-π×12×4)
=4-π,又正方体有
12条棱,则在盒子中
小球不能到达的空间
G的体积为8-π+12×(4-π)=56-π.
故所求概率为P=
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