直线的倾斜角与斜率、直线的方程问题展

直线是解析几何学习的开始, 解题必要时作出图形, 由图形的直观再结合一些运算解决问题.

一. 直线的倾斜角与斜率问题

例1 已知直线 过两点 , , ,根据下列条件分别确定 的值.

(1) 直线 的斜率为1;

(2) 直线 过点 .

解析: (1) 由  

, 解得 .

(2) 注意到点 在 轴上, 当 的斜率不存在时, 直线 与 轴重合, 但由 知, 点 不在 轴上, 则 的斜率存在.

由 , 结合(1)有   , 得 .

例2 已知等腰△ABC (AB=AC) 中,  点A(－1, 2)，B(－3, 2)，直线AC的斜率为，求直线BC和∠A的平分线的斜率．

解析：作出图形, 注意到AB∥x轴，AC的倾斜角为60⁰.

当点C在点A的上方时, 直线BC和∠A的平分线的倾斜角分别为30⁰, 120⁰, 其斜率分别为 ; 当点C在点A的下方时, 直线BC和∠A的平分线的倾斜角分别为120⁰, 30⁰, 其斜率分别为 .

二. 直线的方程问题

例3 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程.

(1) 斜率为 ；

(2) 过定点A(－3, 4) .

解析: (1) 设l: y＝x＋b, 它在x轴, y轴上的截距分别为－6b，b.

由已知得|－6b||b|＝6|b²|=6，解得b＝±1.

故直线l的方程为 .

(2) 设l: y＝k(x＋3)＋4，它在x轴, y轴上的截距分别是－－3, 3k＋4.

由已知得|(3k＋4)(－－3)|＝6，整理得

(无解)或 ,解得k₁＝－或k₂＝－.

故直线l的方程为 或 .

反射到y轴上点C，又被y轴

反射，这时反射光线恰好过点

D(－1, 6).

(1) 写出点A关于直线y＝

x的对称点 .

解析: (1) .

(2) 如图, 点D关于y

轴的对称点为D^/(1, 6), 由

入射角等于反射角知, A^/D^/

所在直线经过点B, C.

故所求直线的方程为

, 即10x－3y＋8＝0.

三. 两直线平行与垂直问题

例5 已知直线 和 .

（1）当直线 时, 求 的值；

（2）当 时，直线 恒在 轴上方，求 的取值范围.

解析:（1）由题意得 解得 .

（2）设 , 由题意得

即 解得 .

设折痕所在直线的斜率为 .

（1）当 时, 求折痕

所在直线的方程；

（2）用 表示折痕所在直

线的方程.

解析:(1) 当 时, 点 与点 重合, 得折痕所在的直线方程为 .

(2) 当 时, 连接 , 则折痕所在的直线垂直平分线段 .

设 , 由 , 得 , 此时线段 的中点为 , 则折痕所在的直线方程为 ( 时也适合).

故折痕所在的直线方程为 .

手机:13509508696  2015-2-25