“双十字架”在三角函数中的应用

三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中的重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素，同时，三角函数也是高考的重点，也是高考的热点．三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型．但也因其公式多，图象不容易记，使得很多同学在学习和考试的过程中出现对三角函数的反感情绪，遇到求单调区间，求一定范围内的值域，解三角函数方程（或不等式）时常常心有余，而力不足．笔者在教学实践中发现，借助正弦函数与余弦函数定义的直观表示形式“双十字架”，对提高学生解决三角函数问题的能力大有裨益．本文拟分类例说之．

一、建立“双十字架”

1.1建立正弦“十字架”

1.1.1在直角坐标系中建立角的终边与函数值的对应关系.如图在1-1-1中：

①角的终边落在轴非负半轴时对应的正弦值；

②角时，其对应的正弦值；

③角的终边落在轴非负半轴时对应的正弦值；

④角的终边落在轴非正半轴时对应的正弦值；

⑤角的终边落在轴非正半轴时对应的正弦值；                         1.1.2定义：角的终边从轴非负半轴逆时针旋转一周时其正弦值变化规律为：，将这种规律称为正弦“十字架”(如图1-1-2)

图1-1-1                                          图1-1-2

1.2建立余弦“十字架”

1.2.1在直角坐标系中建立角的终边与函数值的对应关系.如图在1-2-1中：

①角的终边落在轴非负半轴时对应的正弦值；

②角时，其对应的正弦值；

③角的终边落在轴非负半轴时对应的正弦值；

④角的终边落在轴非正半轴时对应的正弦值；

⑤角的终边落在轴非正半轴时对应的正弦值；

1.2.2定义：角的终边从轴非负半轴逆时针旋转一周时其余弦值变化规律为：将这种规律称为余弦“十字架”(如图1-2-2)

图1-2-1                                              图1-2-2

二、应用正（余）弦“十字架”

2.1利用“正（余）弦十字架”求三角函数的单调性

例题1 已知函数

（Ⅰ）若，且，求的值；

（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间．

解析：（1）；

（2）求的单调区间属于简单题，但是对与很多学生来说要记忆正弦余弦函数的单调增（减）区间，却是很不容易的事，很多学生往往会记反了，或者忘记了，回忆不起来，导致本来必得分的题目却很“不幸”的丢了分数．

而利用“正弦十字架”无须记忆三角函数的单调增（减）区间，求单调增区间．

核心：角的终边逆时针旋转时，角度（自变量）逐渐增大．要求的增区间，那么随着角的增大函数值也要增大，所以只需在图2-1-1中找到函数值由时对应角的变化范围．（如图2-1-2）                                               

即：由轴非正半轴按逆时针旋转到轴非负半轴.

表示出轴非正半轴：；

表示出轴非负半轴；

所以：．

解不等式得：的单调增区间为： 

                                                           图2-1-2小结：利用正（余）弦十字架求三角函数的单调增（减）区间核心在于在十字架中找出函数值由小到大（）变化对应角的范围，或者由大到小（）变化对应角的范围，但是角必须按逆时针旋转．

2.2利用“正（余）弦十字架”求三角函数的不等式.

例题2某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；．

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

解析：（1）；实验室这一天的最大温差为．

（2）大于时，需要降温.

即： ．

也就是说本题的关键在于解这个三角不等式

由；将看作一个整体

利用正弦十字架画出的两条终边如2-2-1

图2-2-1                                        图2-2-2

 这样在范围内，就被这两条终边分为两份.用特殊值法选出答案所在的一份如图2-2-2.中的阴影部分

表示出下边界：； 

表示出上边界：；

所以

小结：利用正弦十字架可以快速找到的终边，这样解题只需要表示上下边界.十字架带来了解题的便捷．

2.3利用“正（余）弦十字架”求三角函数在一定范围内的最值.

例题3已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在闭区间上的最大值和最小值.

解析：（1）

（2）由                               图2-3-1

由：结合正弦十字架可以知道的取值范围，如图2-3-2

所以当角由时，函数值：由，所以：，所以

小结：通过正（余）弦十字架，可以快速读取函数的变化值．                     图2-3-1

小结：正（余）弦十字架，给解题带来了重要的便捷，而且也能统一三角函数的性质，对于解题带来的便捷不言而喻，其统一的（）给学生带来的是一种三角函数的统一工具，而不需记忆繁琐的三角函数性质．