几何体的表面积与体积问题展

表面积与体积的问题, 比初中相对要“活”或综合些, 它也是高考的一个热点.

一. 柱的问题

例1 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 铁丝,再用S 塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．

(1) 当圆柱底面半径r取何

值时，S取得最大值？并求出该

最大值 (结果精确到0.1 )；

(2) 若要制作一个如图放置

的, 底面半径为0.3 的灯笼，

请作出灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素, 但要标明尺寸)．

解析：(1) 设圆柱的高为h，依题意，得 4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2 (0＜r＜0.6 .

∴S＝2πrh＋πr²

＝2πr(1.2－2r)＋πr²

＝3π[－(r－0.4)²＋0.16].

故当r＝0.4 时，

S_max＝0.48π≈1.5( )．

(2) 由r＝0.3及2r＋h

＝1.2, 得圆柱的高h＝0.6

, 则灯笼的三视图如上图.

例2一个几何体的三视图如图所示, 已知正视图是底边长为1的平行四边形,

侧视图是一个长为1，宽为

的矩形，俯视图为两个边长为

1的正方形拼成的矩形．求:

(1) 该几何体的体积V；

(2) 该几何体的表面积S.

解析：(1) 由三视图知，

该几何体是一个底面边长为1的正方形，高为的四棱柱 (如图).

故V＝1×1×＝.

(2) 由三视图知，该四棱

柱中，A₁D⊥AD, CD⊥D₁D,

则AA₁＝ .

故S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.

二. 锥的问题

例3 已知正方形ABCD的边长为2 , 将△ABC沿对角线AC折起, 使BO⊥平面ACD, O为AC边的中点, 得到如图所示的三

棱锥B ACD. 若M, N分别

为线段DC, BO上的动点(不

包括端点), 且设BN=CM=x,

 试说明三棱锥N AMC的体

积y=f(x)的函数图象大致是

下列的哪一个?

解析: 在等腰Rt△ABC中, 由AB=BC=2 , 得OB=2, 则三棱锥N AMC的高为NO=2-x,   ·2 = x.

∴   , 则选B.

问: 能否以扇形为圆锥的侧

面, 以圆O为圆锥的底面,

围成一个圆锥? 若能, 求出

圆锥的表面积与体积; 否则

说明理由.

解析: 假设可以围成一个圆锥, 如图, 设圆锥的母线长为 ,底面半径为r, 高为h, 则

此有解 .∴能围成一个圆锥.圆锥的表面积为, 体积为.

三. 台的问题

例5如图, 在三棱台ABC－A₁B₁C₁中，AB∶A₁B₁＝1∶2，设棱台的高为h, .(1) 用表示棱台的体

积 ( ).(2) 求三棱锥A-A₁BC，B-A₁B₁C，C-A₁B₁C₁的体积比.解析：(1) 由已知得.

故 .(2),  , .

故 .

四. 组合体的问题

例6 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图, 侧视图均由直角三角

形与半圆构成，俯视图由圆

与内接三角形构成.

(1) 画出几何体图形;

(2) 求几何体的体积.解析：(1)几何体图形

如下图. (2) 几何体是一个半球体

与三棱锥构成的组合体, 其中

PA⊥平面ABC,  AB⊥AC，AP

＝AB＝AC＝1，又Rt△ABC为

半球底面的内接三角形，得球

的直径2R＝BC＝，即R＝.

故所求体积为

.