线、面平行的判定及性质问题展

证明线面平行问题,可利用中心投影或平行投影作出已知线在平面内的投影线, 转化为三角形平行截线段图形或平行四边形图形等处理.

一. 线面平行的问题

（1）判断直线MN与AC的

位置关系, 并求其所成的角；

（2）判断直线MN与平面

ABCD的位置关系，并证之.

解析:（1）直线MN与AC

 成异面直线.

在 中,由已知有 , 得 , 又 , 则 .

∴ 为所求的角, 显然为 ,

故异面直线MN与AC所成的角为 .

（2）直线MN与平面ABCD平行.

DD₁, NQ CC₁.

 又DD₁ CC₁, 则NQ

NQ, 得 MPQN.

∴MN∥PQ, 而PQ 平面ABCD， MN 平面ABCD, 得MN∥平面ABCD.

在线段AE上确定一点F, 使

GF∥平面CDE.

解析: 如图，连接AG

并延长，交CD于点H，则

连接EH, 在AE上取一

点F, 使AF=2FE，连接GF,

则GF∥EH，又EH⊂平面

CDE，GF 平面CDE, 得

GF∥平面CDE.

故当AF＝2FE时，GF

∥平面CDE.

线有几条? 说明之.

解析: 只有一条.

事实上,如图, 过点A的直线m

的交线n与直线m平行, 同理, 过

直线m的平面与β的交线k与直线

m平行, 得n∥k.

进一步, 由线面平行可推出直

线n和k与两平面α和β的交线c

平行, 即满足条件的直线m只需过

点A且与两平面α和β的交线c平行, 这样的直线有且只有一条.

二. 面面平行的问题

且AB＝2CD. 问: 在棱AB上是

否存在一点F，使平面C₁CF∥

平面ADD₁A₁？若存在，求点F

的位置；若不存在，说明理由.

点F为AB的中点.

事实上, 如图，由AB∥

CD，AB＝2CD，有AF CD,

得 AFCD.

∴CF∥AD，而AD 平面

ADD₁A₁，CF 平面ADD₁A₁,

得CF∥平面ADD₁A₁.

又CC₁∥平面ADD₁A₁, 而CC₁∩CF＝C.

∴平面C₁CF∥平面ADD₁A₁.

EF的中点．

(1) 求证：BE∥平面

DMF；

(2) 求证：平面BDE

∥平面MNG.

则MO为△ABE的中位

线，得BE∥MO.

又MO⊂平面DMF ,

BE 平面EMF，得BE

∥平面DMF.

(2) 由N，G分别为 ADEF的边AD，EF的中点，得DE∥GN，而GN⊂平面MNG，DE 平面MNG，则DE∥平面MNG.

由M为AB中点，得MN为△ABD的中位线，则BD∥MN，而BD⊂平面MNG , MN 平面MNG，得BD∥平面MNG.

又DE∩BD＝D, 得平面BDE∥平面MNG.

任一点 作直线 与 ,

都相交，讨论说明: 这样

的直线 的条数.

解析: 当 或

时，直线 有无数条;

当 或 ，且 , 时, 直线 不存在;

则 , 又 , 是异面

直线，得直线 , 相交.

设 , 连接

, 则直线 即为直线

, 得直线 只有一条.

手机:13509508696  2015-2-23