高三数学复习的三步曲

高考考试大纲指出:数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养.数学科考试,要发挥数学作为主要基础学科的作用,要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度,要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平,要考查考生进入高等学校继续学习的潜能.由此可知,“能力立意”是高考命题的基本原则,因此,培养学生的数学能力是高三数学复习的主要目标.高考所考查的数学能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.然而,如何通过高三数学复习最大限度地提高学生的数学能力,却并不像数学知识的掌握那样在实践层面易于落实.笔者通过多年的高三教学实践,摸索出“整体梳理,把握本质,有序思维”的高三数学复习三步曲,所教学生高考均取得优异成绩.

1         整体梳理

整体梳理是指站在数学学科整体高度,以支撑数学学科知识体系的重点知识为线索,从知识、方法和思想等三方面,对所学知识进行梳理,从而揭示数学知识之间深刻的内在联系,构建数学知识网络.其重点是通过整体梳理,使学生能将高一、高二所学的数学知识结构化和系统化,这是提高学生数学能力的必要条件.

1.1  知识梳理

高中数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及按照一定程序与步骤进行运算、数据处理、绘制图表等基本技能.众所周知,高一、高二阶段学生已经学习了上述知识点,但学生的数学能力普遍较差,面对解决一个数学问题所要用到的知识点,很难从大脑中及时提取,从而影响问题的解决.而当教师点评该问题时,学生又感觉自己会做,这就是困扰中学数学教学多年而至今也未解决的“懂而不会”的难题.事实上,造成“懂而不会”的主要原因是学生所掌握的数学知识没有系统化和结构化,导致知识形成不了能力,自然就无法解决数学问题.

高三数学复习,首要任务是对学生学过的数学知识进行整体梳理,通过梳理,建立起各部分知识在各自发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系.引导学生从本质上抓住这些联系,进而在解决数学问题时,能从大脑中快速反应出所需要用的知识点.

案例1  函数知识体系（网络）的构建

函数是高中数学的核心内容,是高中数学六大主干知识之一,因此,函数是历年高考中的重点和热点问题. 由于教材中基本初等函数,导数及其应用是以单独的版块呈现在必修1,选修2─2,但有其内在联系,因此,在复习时将分散在教材中的知识构建知识网络.(如右图)

1.2  方法梳理                                                                    

数学方法通常是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等.其本质就是解决数学问题的具体操作过程.数学方法的梳理一般分为宏观、中观、微观三个层次.例如要构建解析几何问题从宏观到中观、中观到微观的方法体系.像“研究解析几何问题的一般方法是什么”等这类问题方法的梳理是属于宏观层面的梳理,这些方法大多是策略层面上的;像“如何用待定系数求曲线方程、如何求轨迹方程、如何用方程研究直线和圆锥曲线的位置关系、求直线和圆锥曲线中定点、定值、最大(小)值有哪些方法”等这类问题方法的梳理是属于中观层面的梳理,这些方法既具有一定的宏观性,又具有可操作性,属于解决一类问题的通性通法;而像“求点 关于直线 不同时为零)对称点  ”等这类问题方法的梳理是属于微观层面的梳理,显而易见, 微观层面的梳理是针对具体数学问题给出的解题方法(技能).在高三复习阶段,若能按照以上三个层次进行方法梳理,就能在学生的脑海里构建一个联系紧密、层次分明的方法体系,使学生在遇到数学问题时,能按宏观→中观→微观的逻辑次序进行有效思考,从而迅速找到解决问题的方法.以下呈现的是对解析几何从方法层面的梳理:

第一层次:宏观层面方法的梳理

研究解析几何问题的一般方法:用代数的方法研究几何问题→用数(坐标),代数式,方程表示出几何问题中的关键的点,距离,直线,圆锥曲线→对这些数,代数式,方程进行讨论→把讨论结果给予几何的解释而将问题解决.

第二层次:中观层面方法的梳理

例如像“如何求轨迹方程”这类问题,可做以下梳理:合理建立平面直角坐标系并设出动点坐标→根据题目的已知条件找等量关系(直接法、相关点法、定义法、参数法) →由等量关系列方程→化简方程并确定变量取值范围→证明(略). 再如像“求直线和圆锥曲线中定点”这类问题, 可做以下梳理:(方法一) 从特殊情况入手,求出定点坐标→证明所求出的点与变量无关,即为定点;(方法二) 根据题目的已知条件,求出含参数的动曲线方程（一般只含一个参数）→将曲线方程转化为关于参数的一元方程→根据一元方程有无数个解的条件,求出定点坐标.

第三层次:微观层面方法的梳理

例如, 求点 关于直线 不同时为零)对称点 的解法是:分别求线段 的中点坐标 , ,直线的一个方向向量 →由点 在直线上, 列出关于 的方程组→解方程组得点 的坐标.

1.3        思想梳理

数学思想是对数学对象的本质认识,是在探索和认识数学知识的过程中提炼概括的基本观点和根本想法,对数学活动具有普遍的指导意义.高考对数学思想的考查是对数学知识在更高层次的考查,考查时与数学知识相结合,通过对数学知识的考查,反映考生对数学思想的掌握程度.因此,数学思想的梳理,是对数学知识和方法在更高层次和概括,从而将隐藏在数学知识和方法中的数学思想(通常是指隐藏数学教材中的知识暗线)展现出来,形成解决问题的指导思想,这是整体梳理的最高层次,是提高学生数学能力的重要手段.例如,学生经过高一、高二阶段的学习,初步领会根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,即数形结合思想.比如,问题1:设函数 的定义域为 是 的极大值点,以下结论一定正确的是: ; 是 的极小值点; 是 的极小值点; 是 的极小值点.本题以函数图像和极值概念为载体,主要考查数形结合思想.借助函数 的图像特征,易知 错误,选 又如,问题2,求函数 的所有零点之和.本题以函数的零点为载体,主要考查化归转化思想和数形结合思想.先构造两个函数 与 ,将问题转化为求两个函数图像交点的横坐标之和,尔后作出两个函数图像,因为它们都关于点 成中心对称,两个图像在 上共有8个公共点,每两个对称的交点的横坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8,即函数 所有零点之和为8.以上两例看是不同问题,但本质都是考查数形结合思想,因此,在高三数学复习阶段必须重视数学思想的梳理,为提高学生的数学能力打下坚实的基础.

2         把握本质

把握本质是指在高三复习教学中,通过对高一、高二已学过的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法等的复习,深化对知识本质理解的教学策略.学生对知识本质理解是一个渐近的过程,虽然高一、高二已学过这些知识,但受时间、认知水平、知识结构的限制,大部分学生对数学知识的本质只停留在感性认识阶段.因此,在高三复习阶段教师要引导学生站在更高的平台上,揭开呈现知识的各种表现形态,抓住隐藏其中的不变性,即本质.使学生对数学知识的本质上升到理性认识阶段, 为提升学生的数学能力迈出关键一步.

由于解题教学既是高三数学复习的重要环节,又是提高学生高考成绩的最有效方法,因此,以解题教学为载体实施“把握本质” 教学策略,深受学生欢迎.具体的做法:一是在审题环节,引导学生把握已知条件中每个知识点的本质,揭示隐藏在题目中的知识点的本质;二是通过分析题目所考查的数学知识和数学能力以及数学思想方法, 使学生逐步学会把握数学知识、能力以及思想方法的本质；三是通过“一题多变”和“多题一解”,教会学生以例代类,同时能归纳出解决这类问题的“通性通法”,从而把握这类问题的本质;四是通过解题后的反思环节去揭示解题教学的本质.

案例2 （2012年高考福建卷理第19题）：如图,椭圆 : 的左焦点为 ,右焦点为 ,离心率 .过 的直线交椭圆于 、 两点,且 的周长为8.

（Ⅰ）求椭圆 的方程;

（Ⅱ）设动直线 : 与椭圆 有且只有一个公共点 ,且与直线 相交于点 .试探究:在坐标平面内是否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.

分析:首先引导学生分析本题所考查的数学知识、能力以及数学思想方法.

本题主要考查圆和椭圆的性质、圆锥曲线与直线的位置关系、平面向量等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想及化归与转化思想. 尔后,由题意求得椭圆 的方程为 第（Ⅱ）问:“试探究:在坐标平面内是否存在定点 使得以 为直径的圆恒过点 ?”的本质为是否存在定点 ,使得 注意到直线 是椭圆的右准线, 直线 : 是椭圆 的切线,于是该问题的本质是一个重要结论 : 设点 是椭圆 : 的焦点，直线 是焦点 对应的准线, 为 上任意一点, 为椭圆 任意一点(非长轴端点),则直线 直线 的充要条件是直线 为椭圆 的切线. 所以由结论得点 是椭圆的右焦点,即存在点 ,使得以 为直径的圆恒过点 .

通过揭示问题的本质,不仅轻松解出这道题,而且解决了一类问题,历经以上解题过程,学生一定尝到了“把握问题本质”的甜头,教师应该趁热打铁,引导学生扩大战果,用类比的数学思想很快得到结论 :点 是双曲线 : 的焦点,直线 是焦点 对应的准线, 为 上任意一点, 为双曲线 任意一点(非实轴端点),则直线 直线 的充要条件是直线 为双曲线 的切线.结论 :设点 是抛物线 : 的焦点,直线 是抛物线 的准线, 为 上任意一点, 为抛物线E任意一点(非顶点),则直线 直线 的充要条件是直线 为抛物线 的切线.

由此可知,在高三数学复习过程中,引导学生把握数学知识及思想方法的本质是教学的重要任务,务必要落实到复习课的每一个环节,可以说把握数学知识及思想方法的本质是提升学生数学能力的重要抓手.

3         有序思维

有序思维是指针对一个数学问题按照一定的逻辑顺序展开的思维方式.通过高三数学复习教学教会学生基于数学问题进行有序思维的方法,其本质就是使学生学会思考数学问题的“通性通法”,而掌握解决数学问题的“通性通法”是提高学生高考数学成绩的核心.

在高三数学复习阶段,以解题教学为载体,教会学生基于数学问题进行有序思维是行之有效的途径之一.在解题教学中如何引导学生进行有序思维呢?教师在教学过程中要注意以下几点:一是在给出数学问题后,要留一定的时间给学生思考,让学生弄清题意;二是引导学生揭示每一个已知条件和结论的数学本质,并寻找已知条件和结论之间的联系以及它们相隔的“距离”;三是判断问题所属的题型,

以条件为基础,结论为导向,不断将问题将进行转化,通过化归转化及变换这座桥梁,沟通已知条件和结论的联系,从而使问题迎刃而解.

案例3  已知 ,且 求 的最大值和最小值.

第一步, 弄清题意,明确有两个已知条件,即 是正实数以及关于 的一个等式,结论是求一个双变元代数式(二元函数)的最值.

第二步,基于要解决的数学问题展开的序思考,本题要研究的数学问题是“求 的最大值和最小值”,它的数学本质是求双变元代数式的最值问题.该题型的基本解法主要有三种:一是数形结合法,由于学生画曲线 有困难,所以,暂不考虑数形结合法;二是函数法,该问题的本质是求

二元函数 的最值,求二元函数最值的关键是转化为求一元函数最值,但由题目的条件很难将二元函数转化为一元函数, 因此,暂不考虑函数法;三是不等式法,将问题转化为含“ ”的不等式,解不等式得“ ”的取值范围,从而求得“ ”的最值.

     第三步,有目的进行推理与运算,如何构建含“ ”的不等式呢?方法一:令 则 代入 ,得 即关于 的方程 有正解,即 即 方法二:因为 =

，即 ，令 化简得：

第四步,解决问题,解不等式 得 ,即 ,当且仅当 时, ; 时, .故 的最小值为 ; 的最大值为 .

以上解题的思路充分展示了解决数学问题的有序思维,即:求 的最值问题 构建含“ ”的不等式问题 解含“ ”的不等式,求最值问题.这本质上是一个“思维导图”,在解题教学中要注重引导学生列出解题的“思维导图”,在其引导下进行有序思维,使得解题过程的每一步都不盲目,而是有的放矢,从而不断提高学生分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

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[3]郭胜光．高三数学复习用好教材的三步曲[J].中小学数学，2014（10）：38-40.

[4]章建跃 王嵘．中国数学教科书使用变式素材的途径和方法[J].数学通报，2015（12）：1-6.

[5]杨林军．宏观  本质  思维[J].数学通报，2015（12）：24-29.

作者简介：郭胜光，男，1963年9月出生，汉族，福建邵武人，全国模范教师，福建省特级教师，福建省学科带头人，中学高级教师，大学本科毕业，邵武一中校长，多次参加全国高考数学（福建卷）命题工作，主要从事数学教育以及高考命题研究工作. 多篇论文在数学杂志上发表，多篇论文被中国人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.

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