用教材习题培养学生创新意识的三步曲

创新意识是指:能发现问题、提出问题,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法,选择有效的方法和手段分析信息,进行独立的思考、探索和研究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.

数学教材中的习题是课程专家根据《课标》要求精心设计的,教材中的习题具有展示新知、巩固新知、示范引领、揭示方法、训练思维和培养学生创新意识等功能.本文结合教材习题教学,探究如何培养学生创新意识.

1、  研究一题多解是培养创新意识的重要手段

对于教材习题的学习,学生常常只关注会不会解这一道题,对于会解的习题,很少关注一题多解,久而久之会造成学生解题思路单一,不仅解题能力得不到提升,也无法培养学生的创新意识.因此对教材中的精典习题要注重研究一题多解,引导学生挖掘问题的多向性和解决问题的多样化,鼓励学生对同一问题思考不同的方法去探索和研究,提出解决问题的思路,创新解决问题的方法.

案例1  已知 证明: (苏教版高中数学选修4─5第17页例7)

证法一(比差法)

=

.当且仅当 时等号成立.

点评  该证法是教材中所给的证法,属于传统的比差法.即作差 变形 定号.这种证法思路简单,但因式分解要求较高,其结果是学生有思路但不易成功.

证法二(添项法) 因为   ……①,且   ……②

则由①+②得: ,从而有 当且仅当 时等号成立.

点评  添项法的关键是合理运用二元均值不等式:若 则 ,当且仅当 时等号成立.该证法简洁、流畅,难点是构造项,学生不易想到.

证法三(导数法)设函数 , 其中 为正的常量.

则由 得: (舍去),所以 时,   时, .则由函数的单调性可得:  ,故 当且仅当 时等号成立.

    点评  导数法的本质就是构造函数 ,将证明不等式问题转化为证明函数 的最小值不小于零,而利用导数求三次函数最值的方法属于通性通法,学生没有困难都能完成. 该证法思维含量高,体现了化归转化的数学思想.

鼓励学生积极参与教材习题一题多解研究活动,引导学生从不同的角度,不同的途径去思考数学问题, 促使学生积极探索,主动创造, 有利于学生创新意识的培养.

2、研究一题多变是培养创新意识的重要途径

一题多变,变的是形式,不变的是本质.平时教学中,教师要善于利用教材中的精典习题,引导学生探究一题多变,给学生足够的创造空间,充分发挥学生的主体作用,激励学生去思考,从而 激发学生的创新意识.

案例2  为坐标原点,若直线 与抛物线 相交于A，B两点，求证 .（人教A版高中数学选修2—1第73页习题A组第6题）

分析 设

由 得  因为 所以 .

则 = ,

因此, ,即

变式1  为坐标原点,若直线 与抛物线 相交于 两点，问 与 是否垂直?

分析 设 由 得  因为 , 所以 .则

= 因此, ,即

变式2  是坐标原点, 若过点 的直线与抛物线 相交于 两点，问 与 是否垂直?

分析 设 ,直线 方程为 .

由 得 因为 所以 .

则 .因此, ,即

变式3  是坐标原点, 直线 与抛物线 相交于 两点，若 ,直线 是否过定点?

分析 设 ,直线 方程为 .

由 得 已知 ,所以 .

则 .即 , 因为 ,所以 ,则直线 过定点

由学生归纳得到定理: 是坐标原点, 直线 与抛物线 相交于 两点，则 的充要条件是直线 过定点

通过对习题的条件的变化以及条件和结论的互换,逐步引导学生探究问题的本质,最后由学生得到课本没有的新定理,从而培养学生发散性思维.研究资料表明:学生创新意识与他的发散性思维成正比.

3、研究习题的推广是培养创新意识的核心

学好数学的有效方法是“再创造”,在日常的教学中,教师要积极引导学生研究教材经典习题推广,由学生去发现或创造出新的结论,寻找更一般的规律.长期坚持,能激发学生学习兴趣,促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式.教学实践表明, 研究习题的推广是培养学生创新意识的核心.

案例3  对于函数 是否存在实数 使函数 为奇函数？（人教A版高中数学必修1第83页复习参考题B组第3题）

由函数奇偶性定义可得:存在实数 使函数 为奇函数, . 因为函数的奇偶性本质上是研究函数图像的对称性,所以学生解完此题后,教师要引导学生探索研究习题的推广,寻找新的结论.

结论1  函数 是奇函数;函数 的图像关于点 中心对称.

结论2  函数 是奇函数; 函数 的图像关于点 中心对称.

结论3  函数 的图像关于点 中心对称.

通过对习题的推广,能充分调动学生学习的积极性,挖掘学生的学习潜能,提升学生的学科素养,激发学生的创新意识.

参考文献：

[1]教育部考试中心.2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲[M].北京:高等教育出版社,2013

作者简介:郭胜光,男,1963年9月出生,汉族,福建邵武人,邵武一中校长,中学高级教师,全国模范教师,福建省特级教师,福建省中学数学教学学科带头人,2008年、2010年全国高考数学（福建卷）命题组成员,主要从事数学教育、中学数学以及高考命题研究.多篇论文在数学杂志发表,多篇论文被人民大学《高中数学与教学》复印并全文转载.

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