教练一体，系统优化的三角函数教学

摘要：数学“教”与“练”的改革要同步进行，相互配合，并以“大课堂”的教学理念来提升教练一体的系统优化水平．高中数学作业要围绕知识和能力的学习目标设计，可分为“随堂巩固，双基训练，拓展提升，复习和预习”四个模块，并要形成循环推进的“长作业”系统．结合三角函数的教学阐述了教练一体，系统优化的教改实践．

关键词：教练一体，系统优化，作业设计，三角函数，大课堂，长作业

长期以来，我国高中生所做的数学作业质量堪忧，以致数学学习低效高耗，“题海战术”难以根治．数学练习对数学教学的重要性是不言而喻的，但数学教学的研究可谓“汗牛充栋”，而数学练习的研究却很少．各种各样的数学教学改革有其某方面的亮点，但少有追求整体优化的系统设计，更少见有与教改配套的学生课后作业设计的研究与实践．数学教学是个系统工程，所谓“牵一发而动全身”，不从系统的高度着眼，只限于局部的教改是难以成功的．笔者在长期的教学实践中，逐步摸索研究出了“教练一体，系统优化”的高中数学教学体系，在教学实践中已取得了显著的成绩，本文以人教A版第一章三角函数的教学为例给予说明．

1        教练一体，系统优化的三角函数教学体系

   教学是师生参与的“社会建构”过程，教学效率取决于教师的“教”和学生的“学”的配合水平．

教要服务于学，学生的“学”是教学的出发点和落脚点，是数学教学的实际控制线，教学过程要遵循数学知识的自然演进和学生理解的发展规律．学生数学理解的发展是非线性的、循环往复、螺旋上升的，数学能力是练出来的，所以要提高数学教学效率，就应设计好教练一体，循环推进的教学体系，并在系统的优化整合中下足功夫．教学的系统设计理念强调遵循从整体着眼设计局部，局部服务于整体的原则．在相同的时间内取得更好的教学效果，同样的学习任务用更少的时间和精力完成，这就是所谓的高效率教学．

一般每天只有一节45分钟的数学课，时间有限，学生独立的学与练主要是放在课后．所以组织计划好高中生的课后学习是提高数学成绩的关键，也是减负增效的主阵地．我们应该把学生的课后学习看做课堂教学的延伸，对课内外的数学学习进行一体化设计，使课内外的数学学习各得其所，相互配合，并且要加强各课之间的系统整合，这就是“大课堂”的教学理念．数学理解和能力的培养是一个长期的渐进的过程，要想有效地达成数学理解和能力的发展目标，就应该设计好循环巩固，系统提升的练习体系，这就是“长作业”的数学作业设计理念．

数学教学不能线性前进，我们要立足于学生的学，遵循“大课堂，长作业”的理念，设计好教练一体，循环上升的三角函数教学体系，其课时安排与教师用书基本一致，但1.4和1.6的教学各减少了1个课时，增加了1.1-1.2和1.4-1.5的两个阶段性复习讲评课（兼具综合提高的功能），复习考试环节安排了3个课时，这样约需18个课时，比教师用书的安排多2个课时，其主要特点和要求是：

（1）系统化的教学操作

不但要备好课堂教学，还要设计好匹配的课后作业，并且要先整体备好全章节的教与练，然后在教学实施过程中根据学生学习的实际情况相机调整，最后在章节教学结束后反思总结，进一步整合优化章节的教练体系．系统化的教学操作不得力，系统化教学就难以生效，也难以得到改进．

（2）教与练的系统优化

高中数学教学的任务重，课时相对不足，所以课堂宝贵的时间应该用在最需要教师和大班教学解决的重要任务上，实践表明，有意义的接受性教学能高效系统地传授知识．教服务于学，但不能代替学生的学．所以“大课堂”的教学理念强调课堂是教师的教和指导学生学的主阵地，课后是学生的学与练的主阵地．教练一体系统化的教学要注意区分和统筹安排好教师与学生、课内与课外各自合理的作用和任务，使之各得其所，相辅相成．课前预习作业的安排，能促进学生新知识的学习，减轻课堂教学压力，提高教学效率；课堂所学需要课后的匹配练习来巩固提高；课后作业中的共性问题要在课堂教学中解决．这就是教练一体化的基本操作，而要做好这些，离不开一套与课堂教学相匹配，且能有效地指导和督促学生课后学习的数学作业．

教师不能只管“教完”，而不顾学生是否“学会”，学生的“学练”才是数学教学的主线．例如，讲评课在课堂上使学生“懂得”自己的错误和不足后，还要匹配相应的课后变式训练来巩固提高，否则错误难以纠正．三角函数线是教学难点，但只安排了1.2.1-2这一节课，课堂上使学生“懂得”三角函数线的作法和基本应用后，还要通过课后匹配的巩固训练达到“学会”，若要达到“练熟”的水平，则要以“长作业”的方式在后续的教学中穿插变式训练．

（3）课程安排的系统优化

①章节课程安排的整体优化

学生的数学学习总会出现这样或那样的问题，这几乎就是不可避免的“教学误差”，所以及时有效的反馈矫正机制是不可或缺的，教学的预设和生成的结合也是必须的．一个阶段的数学新课教学后，就要根据作业中反馈的问题适机安排生成性的阶段性复习讲评课来解决学习中的问题或综合提高．单元新课教学结束后，必须进行综合复习，诊断性测试和补救性教学（以在教师指导下学生进行针对性的自学自练为主）．例如，三角函数的教学以1.1-1.2和1.4-1.5的两个阶段性复习讲评课为节点划分为三个循环推进的教学阶段．

②专项学习的循环推进

例如，人教A版教材强调三角函数的“圆函数”意义，但这不是只突出单位圆定义就能实现的，更重要的是要以系统教学的理念在定义、三角函数线、诱导公式、图象及其应用等教学和练习中反复应用“圆函数”，才能促使学生克服传统的“三角”局限，形成深刻的“圆函数”意义的理解．

三角函数的综合和实际应用是个难点，此难点不要只集中到最后再学，而是要相机分散到前教学中逐步地教与练，学生才易掌握．1.6三角函数模型的简单应用的教学比教师用书减少了1个课时，不是要消弱其学习，而是因为从三角函数定义的教学开始就逐步学习其应用，实际上是强化了对应用的学习．

（4）教学内容的整合优化

教练一体，系统优化的教学成效取决于外在的教学体系框架和内在的教学内容的系统优化水平，以及二者的协调整合程度．

例如，实践表明，若能从高中函数整体的高度系统设计图象变换的教学，即在高一基本初等函数的图象变换的教学中初步说明对应点坐标变换的方法，在高二函数 图象变换的教学中先让学生尝试用抽象的坐标变换的代数方法推出平移或放缩变换后的函数，再用几何画板形象地演示验证，在解析几何的教学中也同样用坐标变换法推求相应的曲线方程，就容易使学生形成对函数或方程图象变换的一以贯之的理解．

2  教练一体，系统优化的三角函数作业设计

人教A版必修四三角函数教材中的习题分为A组和B组，A组基础性强，重在对双基的训练巩固，但题量不够；B组一般3题左右，仍重在基础，有一定的探究性和新颖性，但题量太少．朱少卿等的中美两套教材中三角函数的比较研究发现，基本相同的三角函数教学内容，美国的UCSMP高中数学教材中的习题远比人教A版的多，UCSMP教材中共有34道例题，362道习题，而人教A版教材中只有30道例题，149道习题．不仅是数量上的悬殊，在习题的类型和层次上也有明显差别．UCSMP教材包含例题，问题（包括覆盖阅读材料的问题，数学应用类的问题，复习题，探索题），自我检测题，本章复习题（包括技能检测题，性质检测题，应用检测题，表达检测题）^[1]．

事实上，教材中的习题只是我国高中生数学作业中的一小部分，更多的是教辅资料中的作业．只做教材中的习题作业，根本不可能适应高考，而教辅资料作业往往是简单拼凑，即多又难，质量低下，这成了我国高中生学习效率低下，学业负担重的主因．所以给学生一套科学设计的、高质量的数学作业是减负增效的必要条件，这是本教改的主攻目标．

借鉴美国UCSMP^[1]和CPM^[2]高中数学教材的作业设计经验，结合我国高中数学教学的实际情况，设计高中课后数学作业为以下四个渐进的模块：

   （1）随堂巩固

重在复习整理本课的教学要点．例如，“1.2.1-1任意角的三角函数”课后作业的“随堂巩固”内容是以填空的方式复习任意角的三角函数的“坐标定义”和“单位圆定义”，以及随即得出的“诱导公式一”．

（2）双基训练

这是每天数学作业的核心和重点，包含渐进的两块内容，题量较多．先要训练巩固好当天新学内容的“双基基桩^[3]”，即比较单一的基本技能的训练，这部分习题要突出基础性和训练性，以简单题为主，要有一定的题量，以达到技能训练的目的．这块内容的学习训练得到保证后，再设计第二块内容，用于和前所学的相关知识进行一定水平的综合训练，使学生在数学知识系统中理解和掌握新知识，促进融会贯通，这相当于“双基模块^[3]”的训练．例如，1.2.1-1的“双基训练”包含：①填写特殊角的三角函数值；②三角函数的坐标定义的应用；③三角函数符号的判断和求值；④圆函数意义的体现等四个变式题组．

（3）拓展提升

这个模块用于进一步的综合训练以及所学知识在新领域的拓展应用，具有探究性和一定的难度．一般题量较少，可以选做，主要用于学有余力的优生，相当于“双基平台^[3]”的发展性训练．例如，1.2.1-1的“拓展提升”设计了两道题：(1)设 是第二象限角，且 ，试问： 是第几象限角？(2) 求下列函数的定义域：① ；② .本课已经使学生具备了解答这两道题的知识基础，但需创新应用才能解答．

（4）复习和预习

学了后面，忘了前面是学生学习的一个常态，学习的过程就是一个与遗忘作斗争的过程，所以课后学习不但要完成当天所学内容的复习巩固，还要能抽出适当的时间来复习或提高前所学，特别是补救前学习中的问题或不足，以循环推进学生的数学学习．每个单元的教学常是刚开始内容简单，作业量小且较容易，到后面则越来越综合，越来越难，出现头重脚轻的不均衡现象．若能把上一章节的综合型、能力型的较难习题，以及针对学生学习问题的补救性练习等部分转移到下一章节的开头学习任务较轻松时训练，则既可以均衡学生的学习任务，又可以起到循环巩固提高的作用．美国的教材（Glencoe Mathematics Geometry（2004年版））中有一部分习题是为了复习巩固前几节内容的，还有一部分习题是为下节新课做准备的，对数学学困生来讲，设置这两类习题非常必要，我国中学数学教材应当借鉴美国教材的这一做法^[4]．例如，1.2.1-1的“复习与预习”布置了两题：(1)①若

，则     0（比较大小）；②若 ，则     0；(2)您能用单位圆求下列三角方程或不等式的解集吗？① ；② ．(1)是综合复习题，(2)是预习思考下一节课要解决的重点问题．预习部分主要用于对课堂教学核心问题的提前思考探究．

不能为了“作业”而“作业”，做数学作业是为了掌握好相关的数学知识和技能，所以作业要围绕知识和能力的学习目标系统设计，尽量用变式题组的方式，不能是无目标、随机、杂乱的，这是提高数学课后作业效果的关键．还要注意作业的预设和随机生成相结合，以使作业最好地适合和引导学生的学习．

这四个模块要统筹安排，突出重点，控制作业量，优先保障“双基训练”，并且要以“长作业”的方式设计好螺旋上升的作业系列．这样以系统教学理念为指导，系统化地操作着教练一体的课堂教学和作业体系，必然可以高效地建构学生的数学认知．

参考文献：                                                         

１ 朱少卿，胡典顺，林丹．中美两套教材中三角函数的比较研究[J]．数学通报，2014，10：46-50

２ 林丹，胡典顺，王明巧．美国高中Core-Plus Mathematics数学教材编排结构特点及启示[J]．

数学通报，2015，1：32-37

３ 张奠宙．中国数学双基教学[M] ．上海：上海教育出版社，2006

４ 贾随军，吕世虎，李保臻．中国与美国初中数学教材习题的个案比较—以“与三角形有关的角”

为例[J]．数学通报，2014，9：17-23