思想决定方法　细节决定成败

我们在大量的数学课堂观察中发现，教学中，关注思想性严重不足，数学教学缺乏整体性、结构性，从而也就缺少了应有的“大气”而陷于细枝末节的“小气”。因此，数学教学改革中，强调“思想性”“整体性”“结构性”应当成为努力的重点。但是，如果思想不落实在“细节”上，也就是在具体操作上得不到体现，那么“思想”就只是一种“空想”，对学生的发展也起不了多大作用。

首先思想方法的总体上的把握和领会,例如，在等差数列、等比数列求和公式的推导中，首先对推导公式的思想方法——以等差数列、等比数列的定义与性质为依据和出发点，对“如何用n、d(q)、a₁及a_n表示S_n”进行讨论——是大家都会认同的。在公比为q的等比数列 中

方法1：错位相减法

方法2：提取公比q

方法3：利用等比定理

    ……

不同的结构分析，产生不同的思想方法，进而采用不同的处理方式

如， 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x²＋y²－

2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形

PACB面积的最小值．

解：方法一：从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝

0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积

S_Rt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S_{四边形PACB}也越来越大；

当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S_{四边形PACB}变小，显然，

当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S_{四边形PACB}应有

唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，

从而|PA|＝＝2.

∴(S_{四边形PACB})_min＝2××|PA|×|AC|＝2.

方法二：利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则|PC|＝

，由勾股定理及|AC|＝1，得|PA|＝＝

，

从而S_{四边形PACB}＝2S_△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝，从

而欲求S_{四边形PACB}的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|²＝(x－1)²

＋(y－1)²的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的

最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平方，这个

最小值d²＝²＝9，

∴(S_{四边形PACB})_min＝＝2.

方法三：利用函数思想，将方法二中S_{四边形PACB}＝中

的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化为关于x的一元函数，进而用配方法

求最值，也可得(S_{四边形PACB})_min＝2.

开阔思路　提炼方法.本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及配方法，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决．

其次，在有了某种想法，有了比较明确的思考方向后，在把想法付诸行动的过程中，必须强调细节。细节是培养学生思维严谨性的大好时机，当然，对于“细节”可以有进一步的认识。其中，有两个问题特别要注意，一是注意区分“细节”与“细枝末节”；二是要注意学生的“细节”。

第一,事实上，人们对数学的“细节”会有不同理解。例如，对基本事件的“不可再分”的理解，是对于确定基本事件“以要解决的具体问题为依据”，“可能出现的每一个结果”的“不能再分”还是理解是否可以是“不必再分”的结果，读者可以讨论。事实上，上述不同源于对“一个结果”的含义的不同解释。显然，对“细节”的这种讨论是非常必要的。

第二,注意学生的“细节”，也就是要关注学生思维水平、思维过程的细节。例如，课本在阅读“判断整数 （ 大于2）是否为质数”的程序框图时，学生对判断框中的“ 或 ”后的走向有疑惑：“ 或 ”是一个式子成立还是两个都成立呢？“ 或 ”成立后怎么还问“ ”是否成立？经过分析，找到了原因，形成了化解的方法：先为学生架一座“桥”——将“自然语言”直接翻译成用文字语言描述的“程序框图”，再在后续的学习中逐步完善。反思后的教学设计充分关注了学生的思维水平，教学的效益一定会大大提升。所谓的数学“差生”的形成原因是多方面的，数学思维过程的脱节是一个重要环节。“认真研究数学差生的教学规律”，勇敢地“迎接这份远比教好优等生艰巨得多的工作挑战”，而且将这样的思想落实在“细节”上：对造成“差生”的原因、到底“差”在那里、应当采取哪些措施等都进行了细致入微的分析。实践表明，教师这样关注“细节”，“差生”是完全可以转变的。

第三，注重学生对数学概念、、定义，定理中“细枝末节”的把握，理解。提升学生良好的数学品质、素养。例如，三角函数章节中等角定理β＝α＋2kπ（k∈Z）。K属于整数不可漏掉。解析几何章节中直线斜率K存在与不存在的分类讨论。逻辑语言中，否命题与命题的否定的区别、表述的不同。诸如此类，都在高中数学教学中不可或缺的。

“思想决定方法，细节决定成败”。数学概念理解得是否深刻的标志是对概念的细节把握得是否准确。但理解“细节”的过程中必须要有“思想”的指引，这样才能把知识的教学与能力的培养融合一起，真正发挥数学教育的“育人”功能，