数学思想在高中物理解题中的应用

人们常说：“数学与物理是一家”。表明了物理的学习一定需要数学的帮助，数学知识是解决物理问题的基础。在解决物理问题时，很多时候都是物理思想与数学方法的有效结合。在物理学习中应用数学知识解决问题是教学大纲的明确要求，也是高考重点考察内容。

一、物理学科常用的数学思想方法

应用数学处理物理问题的能力是指能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、求解。

第一，物理学习中的数据图像思想和数学的数形结合思想如出一辙，都是利用图像将问题直观化、形象化，使问题易于解决，方便学生掌握解决问题的方法。同时也要求两科教师，在解决问题时可以应用做图的方法。

第二，在物理学习中，要求学生利用数学知识分析物理问题，这和数学学习中的函数与方程的思想是相同的，主要就是教会学生运用方程知识，将定性问题转化为定量的函数、方程，有利于解决各种物理问题。

第三，物理学习中的对称思想，与数学中的对称思想一致，应用对称思想可以降低解题难度。

在高考物理试题中，要依靠数学知识和方法解决物理问题，利用物理知识考查学生的数学能力也是高考的主要思想。解决物理问题的过程，实际上就是将物理问题转化为数学问题，正确解答后再还原为物理知识的过程。物理解题运用的数学方法通常包括三角函数法、数学比例法、图像求解法、指数对数法、几何图形法、数列极限法、数学极值法、导数微元法、空间向量的坐标运算法、排列组合二项式定理法等。

二、数学思想在高中物理中的应用

例1．一条河宽L=60m，水速v_水=4m/s，船在静水中的开行速度v_开=3m/s。

（1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？

（2）小船渡河的最小位移是多少？

【解析】

（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时（如图１），时间最短：

 t_min=L/v_开=60/3s=20s， s=v_合t_min=5×20m=100m

例2，2008年高考上海卷·4·向量与矢量三角形，如图３所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F　的作用下，从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（ ）。则F大小至少为____________；若F＝mgtanθ，则质点机械能大小的变化情 况是______________________________。

解析：如图４所示，质点受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿着ON方向，将重力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如图中显示当F力的方向为a方向（垂直于ON）时，F力最小为mgsinθ；若F＝mgtanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，故质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mgsinθ，增大、减小都有可能。

力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法，解决共点力问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。

矢量三角形的处理原则：首先，抓住“定”量，比如重力的大小和方向对应矢量三角形的边长和方向，这点很重要，它直接确定了三角形的两个顶点和一个边；再比如墙壁上的弹力方向始终不变，这确定了动态三角形中的某个边的方向；其次，找到“变”量，往往以某个力的角度发生变化引起三角形另外两个边的变化，有时候是边长变化、有时候是方向发生变化。

2、函数方程思想与不等式求解法

例3一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入，穿过玻璃砖自下表面射出。已知该玻璃对红光的折射率为1.5。设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t₁和t₂，则光线从0º逐渐增大至90º的过程中 (    )

A．t₁始终大干t₂                             B．t₁始终小于t₂

C．t₁先大干后小于t₂                       D．t₁先小于后大于t₂

解析：我们从时间的表达式开始，t = = = = ，对红光的折射角α₁，蓝光的折射角α₂，则t_红 : t_蓝= ，由于α₁ ＞α₂ ，故在2α₁≤90°，即α₁≤45°时总有t₁＜t₂ ，要入射角θ从0º逐渐增大至90º的过程中总成立，要求红光的折射率n₁= ＞，由于题干给定n₁=1.5，故总有t₁＜t₂ ，B正确。

高考中对处理物理情景后列出数学函数方程，然后运用数学不等式的知识灵活处理临界问题，一直是考生的一大瓶颈。处理临界值问题时可以考虑：

1）运用二次函数极值公式求极值；2）利用一元二次方程求极值；3）利用配方法求极值；4）利用不等式求极值；5）利用三角函数的有界性求极值；6）利用“化一法”（即正弦、余弦、正切等三角函数转换为同名三角函数）求三角函数极值；7）利用向量求极值；8）图象法求极值；9）利用数学求导的方法求极值；

以上求极值的方法是解高中物理题的常用方法。在使用中，还要注意题目中的条件及“界”的范围。求最大和最小值问题，这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论，这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律，还要具备较好的运用数学解决问题的能力。

解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念、基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。

３、立体几何在物理问题中的应用

在研究物理问题时，需要学生发挥空间思维能力，才能将一些平面图像思考为空间关系，并将一些抽象的知识转化为形象的知识，明确物体的运动轨迹、以及受到哪到力，中间涉及立体几体知识。如在学习安培定则、左手定则和右手定则时，都要利用学生的立体思维能力，设象出I 与 B 的空间关系、F,B,I 三者之间的空间关系、E,B,V 三者之间的空间关系。

4、函数方程思想与数列

例4.一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．

(2)求雪橇最终连度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．

(供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)

求解：

第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0

V₁=－

第一次跳上雪橇：MV₁+mv=(M+m)V₁’

第二次跳下雪橇：(M+m)V₁’ =MV₂+m（V₂+u）

V₂=

第二次跳上雪橇：MV₂+mv=(M+m)V₂’

第三次跳下雪橇：(M+m)V₂’ =MV₃+m（V₃+u）

V₃=

第三次跳上雪橇：MV₃+mv=(M+m)V₃’

第四次跳下雪橇：(M+m)V₃’ =MV₄+m（V₄+u）

V₄= =5.625m/s

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.

5、函数与物理图象

例５.物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列7-10所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是（   ）

分析：该题应该从数学函数与物理图象相联系。在自由落体运动中，势能与下落的高度成正比，下落的高度与时间的平方成正比；任意高度的势能值等于该处的动能值，与速度的平方成正比。再根据函数方程对应的图象即可获取答案。

由机械能守恒定律：E_P=E－E_K，故势能与动能的图像为倾斜的直线，C错；由动能定理：E_K =mgh=mv²=mg²t²，则E_P=E－mgh，故势能与h的图像也为倾斜的直线，D错；且E_P=E－mv²，故势能与速度的图像为开口向下的抛物线，B对；同理E_P=E－mg²t²，势能与时间的图像也为开口向下的抛物线，A错。本题答案B。

6．对称思想

在高中物理有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).

例6（2005年全国高考）如图所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R＝ 。哪个图是正确的？（    ）

【解析】：由于是许多质量为m带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到： ，解得R＝ 。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点O为转动点，以2R为直径从右扫到左的一片区域。即如图4所示。

三、结语

总之，随着新课程改革地不断深入发展，高中物理教师要深入研究高考物理的要求，在物理课程的改革中，要认识到学生是改革的主体和最大的受益者，不但要重视提高学生的探究能力，而且要重视培养学生综合运用各科知识的能力。学好数学知识，不但可以培养学生的数学思想、创新能力，表现数学学科的工具性和实用性；同时也可以促进其它学科的学习，将数学知识应用于物理问题的解决，不但培养了学生解决问题的能力，而且提高了学生的思维水平，更好地与大学学习相接，有利于增加学生学习物理知识的手段和方法。