高中数学复习课的高效策略

【摘要】本文通过五个教学策略，阐述了高中复习课型的高效率实现的方法，结合自身的多年的教学实践，提出高效率复习的有效措施和一般原则。

【关键词】高效、整合、通法、变式、思想

【正文】高中数学复习课，要梳理知识，查缺补漏，帮助学生形成完整的知识网络。整体把握数学认知结构，不是对旧知识的简单重复，而是站在系统的高度，深入本质，注意抓住知识之间的联系，产生全新认识[1]。复习课有多种课型结构，应根据实际情况随型变化，不可单一。以下是笔者在教学实践中采用的若干策略。

一、概括重组，梳理知识。

中学数学内容总体上是“数”与“形”两个系统的并行与交融，在数的系统中形成了代数式、函数与方程、复数集、数据处理等，形的系统以点为基元构成了图象，可分为平面图形(平面几何)、空间图形(立体几何)、直角坐标系中的图形(解析几何)三大块。

定期对所学的知识要点，建立横向、纵向联系，构成知识网络图，把基础知识进行有机的串联，绘制数学思维导图[2]，使学生对整个体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储,提取和应用，也有利于学生思维品质的培养和提高。

例如：幂函数、指数函数、对数函数三大初等函数的图像与特征，可以利用几何画板的绘制功能，将三种类型的函数图像分别整合，集中呈现，形成以三个定点 为代表的三个函数图像群。

利用几何画板的动画功能，让底数或指数变动起来，开启追踪图像的模式，动态演示函数的图像。让学生在最短的时间内，集中感受到变化的规律。尤其对于关键细节:底数 必须满足 且 ，这是为什么呢？许多学生对此是有疑问的，需要适当说明，当 ， 立刻出现麻烦： ，当 ，则 是一个常数函数，而与之对应的对数形式 就出现了1对多的非函数的尴尬[3]，所以教材上才有“ 且 ”,明白了这一点，不妨让“ ”的底数发挥参照对比作用，（注：“ ” 与“ ”对应，虽不可作为函数，但可作为二元方程[4]）从而在整体中连贯变化底数，更好的理解图像，它改变了概念课中从特殊到一般的学习单个函数图像的孤立局面。使得分散的知识得到整合，形成了对照，在复习课中，这种“群学、群记”模式，强化知识的理解与掌握，提升了学习效率。

二、精选例题，抓住典型。

在范例讲解的课型中，必须扣紧核心概念、核心内容，精选典型例题。例题的精选，对于提升复习效率是举足轻重的,所选的例题必须切中要害，针对学生的理解误区，既要起步低，又要有适当的思考量。

下面仅仅对集合概念的典型例题举出二例

例1．集合 ， ， 相同吗？它们的元素分别是什么？

选题意图：这是一个集合表示，核心在于“代表元”的理解，留给学生一定的时间交流不同的答案，可以有效的纠正理解的偏差。

例2．集合 与0是什么关系？ 与集合 是什么关系呢？

选题意图：这是针对学生理解的常见误区，空集与零集混淆的例题

三、突出通法，渗透思想。

“数学通法”就是经过归纳得出的解决一类数学问题通用的方法。寻求一类问题的的通用方法，并上升到数学思想层面，必能提升解题能力和解题效率[5]。尽管每年高考会出现一些题型新颖的题，但其解法是通用的。

以下例举部分章节的代表例题及其通用方法。

1、数列中的通法分析

例3.在公比为 的等比数列 中，设 ， ，设

则             

选题意图：数列中“回归基本量”的通用方法，强化数列中首项，通项，前n项和，以及项数n与公差、公比各个量之间的等量关系，渗透函数方程的思想。

例4.2015新课标I卷理（17） 为数列{ }的前n项和.已知 ＞0， = .

（Ⅰ）求{ }的通项公式：（Ⅱ）设  ,求数列 }的前n项和

选题意图：在数列模型中处理通项与前n项和的关系式时，通用的处理方法是“邻式相差法”,所谓“长常相抵”对于多项长式，应当寻求抵消的策略。其中要注意的是下标的初始值正整数的要求。

2、直线与圆锥曲线问题中的通法分析

圆锥曲线中解答题，学生最头疼的就是参数多，也是它的难点所在，如何减少变量，是解题思路的要领，也就是运用减元的化归转化思想，可以总结为以下口诀：

“直线遇到圆锥线（产生四个横纵坐标量），联立方程用韦达（将两个坐标关联到系数参量），利用直线一次性（纵坐标改为横坐标表示，变量减少为一半），方程化归横坐标（最后横坐标都化为系数参量最终实现‘多量归一’）。”

3、立体几何中的通法：“空间问题平面化，平面问题三角化。”属于降维的化归思想。

四、一题多变，多解归一。

一题多变、一题多解和多解归一，在教学中意义重大，其一，在例题中运用的“变式”，处在认知上的最近发展区，可以节省重新审题等诸多时间。其二，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，牵动了学生已有的知识网络，调用、提取已有的知识，发展了学生的思维能力。正如特级教师孙维刚所言“八方联系，浑然一体”。[1]

下面举一个典型例题进行说明：

例5：已知 且 ，求 的取值范围。

解法1：由 且 得

故

根据二次函数的图象与性质知:

解法2：由 且 ，设 ，θ∈[0，]

则

当 ， 取最小值；当cos4θ=1时， 取最大值1。

解法3：（对称减元）结构的对称常常产生互补抵消等效果，从而化简问题。

由 且 ，设 ，其中 ∈  于是，

所以，

这三种方法，在本质上都一样，都是通过转化为一元函数求最值，只是换元方式的不同而已，需要特别注意的是，变元或者换元时新元约束范围的跟随变化，才不致于破坏命题的等价性。不同的换元方式，导致了化简运算量大小不同，教师引导启发学生主动思考、不仅提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力。

解法4：（数形结合）由 且 表示直线 在第一象限的部分，设 为其上任意动点，则 ，表示动点 到原点的距离，原题化为求 的取值范围，只需考察线段 上的点到原点的距离。

当点 与 或 重合时， ，则

当 时 ，则

数形结合思想，根源于“数”与“形”两个系统的同构，即点与坐标的一一对应，使得两类命题可以等价互换，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。

五、少讲多练，做中求学。

在复习练习课中，要想实现高效课堂，教师必须少讲，将大部分时间让给学生。教师的“少教”不是学生“多学”的充分条件，而是必要条件。只有教师“少讲”才能留给学生时间去“多练”“多学”。但是学生的“多学”也不是多做题那么简单。应该是多思考、多交流、多观察。这就要求老师在之前设计好。“少教多学”的课堂应该是以学生为中心。教师设计课堂活动，起到一个组织者、提示者、指导者的作用。

以下五种情况可以不讲以提高效率：一是，支离破碎、毫无深度的“分析”不讲；二是，学生已经懂得的不讲；三是，学生自己能讲的不讲；四是，教师自己讲不清楚的不讲；五是，学生听不明白的不讲。

一节课的课堂练习必须有备而往，既要围绕课程，又要切合学生学习的实际情况。教师要找准学生新旧知识的生长点[6], 立足学生原有的知识水平，要为学生留有充分的思考余地。设计的问题要有梯度，问题难易适度，层层递进，环环相扣。做到以下要求：一要典型，有助于巩固和掌握基础知识和基本技能，有助于提高解题的能力。二要有层次性，练习设计中的层次性，由易到难，从简单到复杂，使每个层次的学生都有“事”可做，让不同层次的学生都有所提高。三是题量要适度，多了会影响课堂教学效率，学生也乏味；少了则又达不到巩固、检测的目的。如果没有精心准备，练习必然存在极大的随意性和盲目性。

参考文献：

[1] 孙维刚。《孙维刚高中数学》（第二版） 北京大学出版社出版  2015年6月

[2] 赵国忠。中国教学的奇迹——成就奇迹的孙维刚"教学五部曲" ，南京大学出版社，2013

[3] 李吉宝。有关函数概念教学的若干问题[J]。数学教育学报，2003，2：95－98。

[4] M克莱因。《古今数学思想》(1－4册)[M]。上海：上海科学技术出版社，1979－1981;

[5] 周沛耕。《怎样学好高中数学》 科学出版社，1996

[6] 张奠宙、戴再平、唐瑞芬、李士錡。《数学教育研究导引》江苏教育出版社，1994

本文作者：官勇勇 汉族 1992年毕业于福建师范大学 数学系 理学学士学位长期担任高中数学教学，热爱数学专业，研究初等数学教学与数学教育。课例、课件与论文曾分别获得过国家级省级一等奖。 现任教于福建省邵武第一中学      联系电话：18005098621 Email: guanyoyo@126.com