高中数学练习课有效性策略的实践研究

为了让学生更好地掌握数学知识，常常会用一整节课来讨论练习题（习题或问题），这样的课通常称为练习课（或习题课）。练习课一般安排在新授课和章节复习课之后，学生对基本概念有所理解，章节知识系统相对完整的基础上，教师有目的、有计划地指导学生运用已学过的知识进行解题训练的教学活动。心理学认为，练习是学习者对学习任务的重复接触或重复反应，是学生在心智技能和动作技能形成的基本途径。

1 有效练习的理论分析

练习是数学教学的有机组成部分，是学生学好数学的必要条件。在习题课的教学中，通过组织习题讲评、练习以及指导解题，使学生进一步理解和掌握数学基础知识，训练、培养和发展学生的基本技能和能力，能够及时发现和弥补教和学中的遗漏或不足，指导学生梳理知识结构, 使得他们头脑中的知识系统不断完善,思维能力得到发展,形成良好的学习习惯和品质。

而有效教学指通过课堂教学使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维目标获得协调发展。通俗地说，课堂教学是否有效的标准：在一定的时段内，学生学到了什么？学到什么程度？怎样学的？学完以后对数学的态度是否更热爱？

因此我们认为有效的练习课是：使学生巩固和深化了一段时间内所学知识和已具备的技能；对所学知识的形成过程和掌握的方法有更深刻的体验和理解；在分析问题和解决问题过程中，体会到了探究的魅力、数学的美，从而使学生在情感态度与价值观不断受到淬炼，对数学的态度更加热爱。它强调的是学生的进步或发展，关注教学效益，关注学习效率。

有效练习课需要遵循如下一些原则

现行的教学要求“以学生为本”的教育观，这是教学设计的根本指导思想，即立足于教师主导为主的设计和立足于学生自主活动为主的设计。所以有效练习课需要遵循如下一些原则。

1.1 问题原则——创设问题情境，激发动机与兴趣。

单一练习容易使人乏味疲劳，练习课要关注学生的学习兴趣。练习形式的多样化可以提高学生练习的兴趣，保持学生练习的注意力，促使学生脑、口、手并用。兴趣的激发主要在以下方面:

（1）创设问题情境，以问题引导练习.形成认知冲突，激发求知欲，激活思维。同时，通过“追问”等方式，使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态。

（2）考虑学生的认知水平，着眼于思维“最近发展区”内的学习任务：教师的教学从学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点, 从“最近发展区”入手, 提出有利于学生积极思维、具有思考价值的问题,在知识的“增长点”上布设悬念, 不知不觉中唤起学生学习的热情, 促进学生认知结构 的形成、巩固和发展, 使认知结构的“最近发展区”变为“已知区”。

（3）教师设计出可供不同水平和不同能力学生回答的不同层次的问题，即设计出从易到难、从具体到抽象、从个别到一般等多层次 的问题。这样可使全班学生人人都处于思考问题、回答问题 、参与讨论问题的积极状态，充分调动全班学生的学习积极性，取得最佳的教学效果。

1.2 过程与方法原则——数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程。

贯彻过程与方法原则，必须做好两个还原。

（1）还原知识的原发现过程，这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过程；数学概念的产生过程；解题思路的探索过程；数学思想方法的概括过程；等等。

（2）学生思维过程的还原，这就要求我们在教学设计中，为学生构建一条“从具体到抽象，由此及彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面”的思维通道。

有了这两个还原，概括过程的主导思路也就明确了，以这条思路为依据设置问题情景，引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动，使他们经历概括过程。

1.3 互动探究原则——重视数学“再创造”过程

教学中通过各种措施和途径，把学生数学学习过程中的发现、探索、研究等认知活动凸现出来，使学生数学学习过程更多地成为学生发现问题、提出问题、思考问题、解决问题的过程，充分调动学生自主探索。让学生思维有自由活动的机会，使他们处于积极的活跃状态，有进行创造的欲望。让学生像数学家经历创造的过程一样，观察、实验、用直觉或推理（如：合情推理）提出猜想（性质、法则、公式）再加以证实，然后建立这些发现的结论之间的联系形成体系得到类似于教科书的知识。通过这样一个过程，让学生经历“数学化”、 “再创造”的活动过程，提高对数学学习的兴趣。

 2 有效练习的途径与策略

课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本例、习题的教学十分重要，对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用，由点到面，由题及类，解剖一例，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样教学，深化了基础知识，培养了数学思维品质，提高了数学能力，发展了数学应用意识和创新意识。

经过教学的实践，我们可以从以下几个方面来提高练习教学的有效性：

2.1展示原型题，组织变式训练，发展学生的基本技能和能力

在习题教学中，学生往往容易成为解题的机器，教师出示一题，学生思考后在教师的指导下，解决一题。我们在习题课教学中，改变模式，教师出示的是一原型题，组织变式训练。

例1 （《必修五》第107页题2）  已知方程 表示双曲线，则m的取值范围是          ；

该题虽然简单，但学生的理解还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，为此，作如下变式：

变式1 已知方程 表示双曲线，则m的取值范围是           ；

变式2 已知方程 表示椭圆，则m的取值范围是            ；

变式3 已知方程 表示椭圆，则m的取值范围是             。

对教材中的例习题进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，使学生进一步理解和掌握数学基础知识，巩固和发展学生的基本技能和能力。

2.2知识与思想方法有机渗透，培养数学思维能力

教学中，结合本单元知识的特点，努力挖掘蕴含在知识中的思想方法，选择合适的方法，对一些典型的例、习题进行合理处理，有意识地指导学生，让学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括；归纳、演绎和类比进行推理；逐步地合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；领会蕴含在其中的数学思想方法、从而形成数学观念。

例2（《必修五》第41页的例3）设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。

（答案： ）

例3（《必修五》的第55页的探究）设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。

（答案： ）

展示以上习题后，要求学生从中抽象概括为：

有心曲线的第三定义：与两定点两个定点 连线的斜率之积为定值m(m≠0)的动点M的轨迹是有心曲线（A,B除外）.其轨迹方程为 。

教学中让学生与圆的圆周角做类比，并引申推广如下：若AP是椭圆 的任一条过中心的弦，B是椭圆上异于A、P的任一点，则 为定值

证明 设A（ ），P ，B ，

则 = = =

对于双曲线，则 。

变式练习（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））椭圆 的左、右顶点分别为 ,点 在 上且直线 的斜率的取值范围是 ,那么直线 斜率的取值范围是（　　）

A．         B．         C．          D．  

充分挖掘课本例、习题中蕴含的知识，引导学生发现问题、提出问题、思考问题、解决问题，充分调动学生自主探索，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。即重视教学生学习，更注重教学生如何学习。

2.3引申拓广，提高数学能力

在课本例、习题的教学中经常运用一题多解、多题一解、一题多变的方式，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸。一题多解可以训练学生的求异思维能力，多题一解可以训练学生的求同思维，一题多变可以使学生的思维具有深刻性和灵活性。从而提高学生分析问题、解决问题的能力。　　

例4 （《必修一》的第72页例8）比较下列各组数中两个值的大小。

(1)  , ;     (2)  , ;

(3)  ,  (a﹥0,且a≠1)。

在教学中教师可以带领学生继续深入研究本题，合理变式，对其进行引申拓广。

深入：变式1 已知 ,  (x﹥0,且x≠1),试比较 的大小。

有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决。

拓展：变式2 当0<x≤时， ﹤ ，则a的取值范围是           .

延伸：变式3 若不等式 ﹤ 在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为________.

通过一题多变的练习和阶梯式的设问，不仅分散了难点，更使学生将所学的知识融会贯通，学习兴趣高涨。便于提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。

2.4 注重数学应用，加强应用意识和解决问题的能力

2.4.1 注重“数学建模”的教学环节

既引导学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题，然后试图用已有的数学模型（如式、方程、不等式、函数、统计量等）来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题。

具体分以下三个阶段：

①分析问题阶段，从观念和方法的层次上去启发学生，鼓励学生探求思路，进行独立的探究，必要时可展开讨论和交流。

②解决问题的阶段，引导学生落实解答过程。把能力培养和基础知识、基本技能的学习结合起来。

③理性归纳阶段，引导学生对问题的解答过程进行检验、评价、反馈、归纳、小结，并结合问题解决的过程进行学法指导，而学生要通过理性归纳形成新的认知结构，学会学习，并不断提出新的问题，培养进取心和创造精神。

2.4.1 以“问题解决”的形式多角度设问 

例5 水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

(1)  选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).

(2)  一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

(3)  若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

教学回放：

①分析问题阶段，寻找突破：

问题1 通过画散点图，观察每天的时间与水深的关系表，选用什么函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系？

问题2 港口的水深随时间的变化的规律是什么？（从大小、周期的角度来考虑）

②解决问题的阶段，正反面点拨：

问题3 那么该用 还是 ，请求出函数解析式来？

③理性归纳阶段：

引导学生对问题的解答过程进行检验；结合问题指导学生进行归纳、总结；反思问题解决的过程，并进行学法指导。

教学反思：学生在出现错误时，不必急于纠正。让学生自己发现问题，自己完善解答比教师直接点出更有效；培养学生思维时，教师的点拨极为关键，在问题衔接处设问，在学生迷茫处点拨，在思维转变处诱导，这样，思维的脉络才会清晰，启发的效果才会凸现。