“测定电源的电动势和内阻”实验的几种误差分析方法

邵武一中   沈敏

“测定电源的电动势和内阻”实验是高考物理中非常重要的一个实验，而该实验的系统误差分析是一个难点。有些学生没有真正理解，而是将各种电路连接方式的结果误差背下来，这不利于提高学生的分析问题和解决问题的能力。例如2014年的福建高考题，简单的背实验的方式就行不通了。为此，在教学过程中，教师可以引导学生用不同的方法分析误差，对不同的电路进行比较，讨论如何最大限度地减小误差。

一、公式法

如图1和图2所示的两种电路，电压表测得的都是路端电压，图1中电流表显示的不是干路电流，图2中电压表的示数除以相应的电阻箱的阻值得到的也只是流过电阻箱的电流，而不是赶路电流。这两种电路都是由于电压表的分流效果而造成了系统误差。图1的电路，不考虑电流表和电压表内阻的影响，进行两次测量，可由闭合电路欧姆定律得到方程组，，解得,。若考虑电压表的内阻的影响，则有，，解得,.比较两种结果可以看出，＜，＜

图3电路中电流表测得的是干路电流，但电压表显示的不是路端电压。图4中电流表的示数乘以电阻箱的相应阻值，得到的也只是电阻箱两端的电压。图3和图4的系统误差来源是由于电流表的分压效果。如果考虑电流表内阻的影响，则有  ， ，解得，。比较测量值与真实值，可知=，＞。

    当电源的内阻比较小时，电压表所分去的电压相对较小，采用图1或图2的电路连接方式，测量值和真实值更接近，系统相对误差较小。而当电源的内阻比较大，如测量自制水果电池的内阻时，采用图3或图4的电路连接，测量值和真实值相比只相差一个电流表的内阻，系统的相对误差比较小。

二、等效电源法

图1和图2电路，由于是电压表的内阻不是无穷大，因此我们可以把电压表和电源的并联部分看做等效电源。如图5所示，虚线框内的含源电路，待测电源与电压表的并联部分看做电动势为

和内电阻的等效电源，即把电压表视为电源内部的一个电阻来等效处理，则有，当外电路开路时，电压表显示的是等效电源两端的电动势，从闭合电路电压的分配关系上看，有。分析可知，当r<<R_V时，系统误差较小。

图3和图4电路，由于电流表有一定的内阻，如果我们把电流表看做电源内部电阻的一部分，则可以用如图6所示的等效电路来理解，即待测电源与电流表的串联部分看做电源电动势为，内电阻的等效电源，这样，不仅电流表的示数是准确的干路电流，而且电压表也将显示路端电压。当外电路开路时，路端电压等于电源两端的电压，等效电源的的电动势等于原电源的电动势。即。当外电路短路时，，即。只有当r>>R_A时，系统误差较小。

三、图像法

用作图法分析误差，先作出闭合电路的路端电压随电流变化的U-I图像，图像在纵轴的截距表示电源的电动势，图像的斜率表示内电阻。如图7所示，尝试定性找到真实值的曲线，图1电路中电压表显示的是准确的路端电压，而电流表显示的不是干路电流，误差来源于电压表的分流作用，即，因此真实的干路电流值也就是横坐标应该在测量值的右边。其中就是电压表所分去的那部分电流。并且电压表的示数越大，它所分去的电流越多。当外电路短路，也就是电压表的示数为零时，干路电流的测量值与真实值将会出现在同一点。因此，可以找到测量值曲线与真实值曲线的相对位置，如图8所示。比较测量值与真实值的曲线，可以看出，＜，图像的斜率＜。

如果采用图3所示电路测量，误差来源于电流表的分压作用，因此电流表测干路电流是准确的，而路端电压的真实值应该在测量值的上方，且电流表示数越大，即电流表所分去得电压越多，路端电压的测量值与真实值差别越大。当外电路断路，也就是干路电流为零时，电流表将不分去电压，此时路端电压的测量值与真实值一致。因此可以做出如图9所示的图像。从图中可以看出，=，＞。

比较三种误差分析方法，如果用公式法计算分析，计算起来比较繁琐，但是原理简单，适合初学者。等效法无需计算，但要求充分掌握串并联电路的特点以及闭合电路欧姆定律，对电路的理解要求比较高。图像法要求学生对实验原理有充分的理解，但是图像法比其他方法更容易形成永久记忆，一旦掌握就不容易遗忘，掌握图像法有利于学生对图像问题的处理上触类旁通。