几何概型问题展

应用几何概型公式, 要注意分子和分母同单位.

一. 一维问题

(1) 在底边BC上任取

一点 P，使BP＜AB；

(2) 在∠BAC内任作射

线AP交线段BC于P，使BP＜AB．

解析：(1) 在BC上取一点M, 使BM＝AB，则点P落在线段BM内.

故所求概率为P₁＝ .

(2) 由(1)得∠AMB=75⁰, 则AP落在∠AMB内.

故所求概率为P₂＝ ．

例2 设函数f(x)＝kx＋b.

(1) 当b∈[－2，3]时，求直线在y轴上的截距大于1的概率;

(2) 当b＝1, k ∈[－2, 1] 时, 求对任意x∈  [0, 1]，f(x)≥0的概率.

解析：(1) 试验的全部结果构成的区域为[－2，3]，所求事件构成的区域为(1，3].

故所求概率为P₁＝＝.

(2) 由已知得 则－1≤k≤1.故所求概率为P₂＝＝.

二. 二维问题

解析: 由题设知, 点P

在以DC为直径的圆外, 且

在以点A为圆心1为半径的

圆外, 即点P在如图所示的

阴影部分内.

故所求概率为P＝ .

例4甲, 乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车时刻分别为7:20, 7:40, 8:00，若他们约定, 见车就乘，求甲, 乙同乘一车的概率．

达汽车站的时间分别为x，

y，则x, y∈[7, 8], 即两人

到达汽车站的时刻(x，y)所

对应的区域在如图所示的大

正方形内(含边界)．

将三班车到站的时刻在

图中画出，则甲, 乙两人要想乘同一班车，必须满足x, y∈[7, 7]∪[7,∪[7, 8], 即(x，y)必须落在图中三个阴影的小正方形内(含边界)．

故所求概率为P＝ .

例5 已知|x|≤2,|y|≤2, 分别就下列情形,求点P(x，y)满足(x－2)²＋(y－2)²≤4的概率.

(1) x，y∈R;

(2) x，y∈Z.

(y－2)²≤4的点的区域为以

(2, 2)为圆心，2为半径的

圆面(含边界), 即点P在如

图所示的阴影部分内(含边界).

故所求的概率 P₁＝＝.

(2) 由x，y∈{－2, －1, 0, 1, 2}, 得点P(x，y)的结果共 (种),其中满足(x－2)²＋(y－2)²≤4有(0, 2),(1, 1),(1, 2),(2, 0),(2, 1),(2, 2),共6种.

故所求概率为P₂＝ .

三. 三维问题

例6 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在正方体内随机取点M.

(1) 求M落在三棱柱ABC－A₁B₁C₁内的概率；

(2) 求M落在三棱锥B－A₁B₁C₁内的概率．

(3) 求四棱锥M－ABCD的体积小于的概率;

解析：(1) 由V_三棱柱＝×1³＝，得所求概率为P₁＝.

(2) 由V_三棱锥＝×1³＝, 得所求概率P₂＝.

(3) 设四棱锥M－ABCD的高为h，由×S_{四边形ABCD}×h＝，又S_{四边形ABCD}＝1，得h＝.

若体积小于，则h＜，即点M在正方体的下半部分.

故所求概率为P₃＝＝.

例7 在一个棱长为6的密封的正方体盒子中，放一个半径为1的小球，任意摇动盒子，若小球在盒子中不能到达的空间为G，求这个正方体盒子中的一点属于G的概率.

得(2²×4－π×1²×4)

＝4－π，又正方体有

12条棱，则在盒子中

小球不能到达的空间

G的体积为8－π＋12×(4－π)＝56－π.

故所求概率为P＝ .

手机:13509508696  2015-5-1