简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词问题展

一些逻辑用语平常的题中用文字都表述过, 这里记住符号和意义, 题中出现符号思考方向与原来还是一样的.

一. 简单的逻辑联结词问题

例1 说明下列命题的真假.

（1） ；

（2） 是偶数或奇数；

（3） 属于集合 ，也属于集合 ；

（4）不等式 没有实数解．

解析：（1）此命题为“ ”的形式，其中 .由 为真命题, 得原命题是假命题．

（2）此命题是“ ”的形式，其中 是偶数， 是奇数. 由 为假命题， 为真命题，得原命题是真命题．

（3）此命题为“ ”的形式，其中 . 由 为假命题， 为真命题, 得原命题是假命题．

（4）此命题是“ ”的形式，其中 ：不等式 有实数解．由 为该不等式的解，得 为真命题，则原命题是假命题．

例2 已知p：方程x²-mx+1=0有两个不等的正根, q：不等式|x-1|＞m的解集为R, 按下列要求, 分别求实数m的取值范围.

(1) p q为假命题;

(2) p q为真命题,且p q为假命题.

解析：(1) 对于p, 由 解得m＞2.

对于q, 由 , 得m＜0.

由p q为假命题, 则p, q都为假命题, 得  解得 .

故m的取值范围为 .

(2) 由已知可得p真q假，或p假q真.

当p真q假时，得  解得m＞2;

当p假q真时，得  解得m＜0.

综上, m的取值范围为 .

二. 全称量词与存在量词问题

例3 已知函数 , p： 在 上是增函数, q： , .

(1) 说明“ ”是“ ”的什么条件?

(2) 若 为真命题, 求 的取值范围.

解析：(1) 对于p, 由二次函数的对称轴 , 得 , 则 为 .

故“ ”是“ ”的必要非充分条件.

(2) 对于q, 由 , 得 或 , 则 为 .

由 为真命题, 得 解得 .

故 的取值范围为 .

例4 已知a＞0，p：∀k∈R，直线kx－y＋2＝0与圆 有公共点, q：∀x＞0，x＋≥2恒成立.

(1) ∀k∈R, 求直线恒过的定点;

(2) 是否存在正数a，使p∧q为真命题，若存在，求出a的范围, 若不存在，说明理由．

解析：(1) 由 解得

故直线恒过的定点 .

(2) 对于p, 由直线恒过的定点 不在圆外, 有 , 得a≥2.

对于q,  由x＋≥2，得2≥2，则a≥1.

假设p∧q为真命题，则p, q都为真命题，得  解得 a≥2.

故存在a≥2，使p∧q为真命题．

例5 已知函数 , ∀x₁∈[0,2],∃x₂∈[-1,3], 按下列要求, 分别求m的取值范围.

(1) f(x₁)≥g(x₂);

(2) f(x₁)＝g(x₂).

解析: (1) 注意到 在[0, 2]上为减函数, 得 , 则 .

由 在[-1, 3]上, 得 , 则 .

由已知得 , 则 , 解得 .

故m的取值范围为 .

 (2) 由已知得 , 则 解得 .

故m的取值范围为 .

手机:13509508696  2015-3-2