高中数学教学中需要的“双基”

摘要:文章从《直线与圆的位置关系》出发，在情境创设和教学流程等方面谈谈教学过程需要怎样的基础知识和基本技能。在情境创设中利用王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”，使圆与直线的位置关系这一抽象的知识与学生早已耳熟能详的古诗发生联系，使直线与圆的位置关系的知识固着点变得丰富，变得形象生动。在教学流程上，通过设计水平变式和垂直变式阐述变式是基本技能掌握的教学诉求。

关键词：基础知识；基本技能；水平变式；垂直变式。

中图分类号:G420

文献标识码：A   

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《直线与圆的位置关系》是一节注重数学基础知识与基本技能的课例。从课例研究的角度，本课的情境创设、教学流程、教师语言、学生主体性等都可以成为有效的切入点，但文章仅选取基础知识与基本技能的教学这一角度谈谈看法。

众所周知，重视“双基”是我国数学教学的优良传统。与此相关的是，自2001年的义务教育课程改革实施以来，过程性知识和目标受到前所未有的重视。尤其是，《义务教育数学课程标准（2011年版）》正式将“双基”改为“四基”，即增加了数学的基本活动经验和基本思想。虽然高中数学课程标准和教学并未明显受次影响，但仍不妨碍我们在“四基”的视野关照下讨论“双基”教学，仍然不能阻止教师用联系的观点组织教学，引导学生经历有效的活动过程，建构知识和方法体系，感悟数学思想方法。下面结合具体的教学活动，谈谈浅见。

一、沟通联系：基础知识建构的教学诉求

基础知识一般指数学体系中重要的、基础性的概念和命题，是学生继续学习的重要基石。从构建主义的观点分析，学生对新知的学习既要与原有的知识体系建立联系，产生纵向的知识延展，又要与新学习的其他知识有效互动，发生横向联系，进而形成较为稳定的知识结构和体系。如，《直线与圆的位置关系》的教学过程中便可以很好地体现这一特点。

其一，沟通知识间的纵向联系，寻找知识固着点。如，在课的引入阶段，先复习初中阶段学习过的直线与圆的位置关系，引导学生及时寻找到本节课所学内容的“历史”位置，使本节课所学的知识变得“熟悉”。同时，还可巧妙地利用王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”，使圆与直线的位置关系这一抽象的知识与学生早已耳熟能详的古诗发生联系，使直线与圆的位置关系的知识固着点变得丰富，变得形象生动。

其二，沟通知识间的横向联系。本课的核心知识是圆与直线的位置关系，共有三种，即相离、相切、相交。这三者从静态的角度看，是独立的、平行的关系，从动态的角度看，是连续的、一体的。首先，借助落日“下沉”，让学生感觉到这三种关系从量变到质变的动态过程，突出这三种位置关系的一体性。其次，通过呈现直线与圆的位置关系图示、分析半径与距离的关系、讨论判别式与位置关系之间的对应关系，沟通图示、交点、方程解在直线与圆位置关系方面的联系。最后，通过设计变式呈现直线与位置关系的不同表征形式和类型，沟通解决直线与位置关系的不同方法之间的联系。这样可以有效把握、沟通知识之间的联系，并根据知识之间的联系，组织教学，有利于学生在学习过程中自主找到知识的生长点，进而顺利将新知纳入原有知识结构。

二、提供变式：基本技能掌握的教学诉求

狭义地讲，基本技能指运用一些常见的、基本的程序性解决问题的行为能力^[1]；广义地讲，运用已掌握的基础知识解决问题的行为能力，也算基本技能的范畴。此处，不严格讨论基本技能，仅结合应用直线与圆的位置关系的知识解决问题的活动谈谈自己的看法。

我们反对重复的、机械的技能训练，但不否认技能的形成必须借助一定的练习来完成。要避免简单重复的技能训练模式，就必须创设变式情境，引导学生形成、强化基本技能。在教学过程中可围绕求圆与直线的位置关系这一核心技能设置系列的变式练习，促使学生实现从基础知识到基本技能的转化，实现直线与圆位置关系判定及应用技能的灵活发展，同时让学生在形式的变化中体会数学核心知识的“不变”。

所谓变式^[2]，即变化事物的非本质属性，如情境、形式、数量等，在众多“变”的映衬下凸显事物“不变”的性质，而这些“不变”的性质常常是事物的本质。因此，变式，既有利于人们提取事物的本质属性，也有利于人们灵活运用事物以应对不同的情境或任务。具体到《直线与圆的位置关系》教学而言，文章设计了两种变式。

其一，水平变式。所谓的水平变式，即变化前后信息和思维基本上处于统一水平层次，一般而言，能丰富学生的认知活动，但不会给学生带来认知上的负荷。如，在学生解决完例1（圆的方程为 ，可化简为，直线方程为),即判断位置关系和求交点后，提供变式1: 当r取何值时，直线和圆C：相切、相交、相离？将圆的方程换成，要求学生判断直线与圆的位置关系。接着提供变式2：判断直线与圆：的位置关系。要求学生判断直线与圆的位置关系。这几个地方的变式，变化的都是圆或直线解析式的形式，且基本上是用同样的方法判断直线与圆的位置关系。这样的教学设计，能丰富学生对“形式”的理解。

其二，垂直变式。所谓垂直变式，不仅改变了事物的呈现形式或表达形式，常常也改变了思考方式或方法策略，呈现出一定的层进性特征。在变式2的基础上，提供变式3：过点P（2,4）的直线与圆相切，试求的直线方程，并求其切线长。要解决变式3的问题，学生需要先求直线方程，并综合点到直线的距离公式等解决问题。进而提供变式4：若过点P（3,4）的直线与圆相切，试求其切线长。同样是求切线长，但可直接从“是否需要求切点”引入，实现方法上的转移——从利用点到直线的距离转向利用勾股定理解决问题。最后提供变式5：自直线：上的任一点向圆引切线，求切线长的最小值。使切线长“动起来”，同时蕴涵着转化思想（以非切线的最小值确定切线长的最小值）。很显然，这样的变式，带给学生的不仅仅是“丰富”，还常常伴随形式、思维或方法的“突破”。

变式教学，需要研究“变什么”“怎么变”，而“变什么”“怎么变”必须建立在对知识本质的深刻理解和对学生思维特点的准确把握的基础之上。

三、合理渗透：隐性知识^[3]获得的教学诉求

虽然目前的高中阶段还没有正式提出基本活动经验和基本思想等教学要求，但高中阶段对思想方法的关注由来已久，对知识形成过程和知识获得过程的日渐关注已是不争的事实。因此，我们可以认为，高中虽为提基本活动经验和基本思想等隐性知识教学目标，但隐性知识教学正被日益关注和重视。

事实上，任何知识和技能的获得都不可能是单一的知识和技能的获得，必然伴随着学习者探索或建构知识、形成技能的过程性情绪体验和思维活动，而这些恰恰是隐性知识的重要组成部分。可以说，不管有意还是无意，教学过程都会影响学生隐性知识的发展。现结合《直线与圆的位置关系》的教学谈谈这方面的感悟。

其一，学生经历了知识建构过程。从整体来看，本节课以“变”研究“不变”，学生的经历了直线和圆的解析式逐步变化、丰富的过程，经历了解决直线与圆位置关系问题的从简单到复杂的过程。在这一过程中，学生模糊、零散的知识逐步变得清晰，变得具有结构性，同时也会获得丰富的活动体验。为了使学生的体验更清晰和深刻，教师除了自己适时总结概括，如果能引导学生进行适当的交流、提炼，就可能更有利于学生学习经验的内化和提炼，更有利于学生将来有效迁移本课中获得的学习体验或经验。

其二，学生获得了数学思想的陶冶。在本课的教学中，注重转化思想，引导学生不断地建立新问题与旧问题的联系，将新问题转化成旧问题解决，同时抓住变中的不变。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中所说的“数学的基本思想”指的是抽象、推理、建模。处于“数学的基本思想”下一层次的数学思想还有很多。教师要结合教材编排体系和学生的接受能力合理取舍、有所侧重地进行数学思想的渗透，还要结合情境让学生学会融会贯通、灵活应用。学生的数学学习只有“学结构，用结构”，才能以不变应万变，才能真正让学生轻松又灵活地掌握基础知识，形成基本技能，积累基本活动经验，感悟基本思想。